Г. Н. Б Е Р М А Н
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ИЗДАНИЕ ДЕВЯТНАДЦАТОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . ................................................................................ 5
Г л а в а I. Функция................................................................................ 7
§ 1. Первоначальные сведения о функции....................................... 7
§ 2. Простейшие свойства функций.................................................. 11
§ 3. Простейшие функции................................................................ 14
§ 4. Обратная функция. СтепСгтая, показательная и логарифмическая функции............................................................................. 20
§ 5. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции 22
§ 6. Вычислительные задачи............................................................. 2G
Глава II. Предел. Непрерывность ................................................... 28
§ 1. Основные определения............................................................. 28
§ 2. Бесконечные величины. Признаки существования предела .... 30
§ 3. Непрерывные функции............................................................. 33
§ 4. Нахождение пределов. Сравнение бесконечно малых................ 35
Глава 111. Производная и дифференциал. Дифференциальное исчисление ................................................................................................ 45
§ 1. Производная. Скорость изменения функции............................. 45
§ 2. Дифференцирование функций.................................................. '18
§ 3. Дифференциал. Дифференцируемость функции ........................ 64
§ Л. Производная как скорость измерения (дальнейшие примеры) . . 68
§ 5. Повторное дифференцирование................................................ 75
Глава IV. Исследование функций и их графиков........................... 81
§ 1. Поведение функции................................................................... 81
§ 2. Применение первой производной............................................. 82
§ 3. Применение второй производной ............................................. 91
§ 4. Дополнительные вопросы. Решение уравнений........................... 94
§ 5. Формула Тейлора и ее применение........................................... 101
§ 6. Кривизна.................................................................................. 103
§ 7. Вычислительные задачи............................................................. 106
Глава V. Определенный интеграл ................................ ................. 107
§ 1. Определенный интеграл и его простейшие свойства................ 107
§ 2. Основные свойства определенного интеграла............................. ПО
Глава VI. Неопределенный интеграл. Интегральное исчисление . . . 116
§ 1. Простейшие приемы интегрирования......................................... 116
§ 2. Основные методы интегрирования............................................. 119
§ 3. Основные классы интегрируемых функций................................ 124
Глав а VII. Способы вычисления определенных интегралов. Несобственные интегралы ............................................. .. 131
§ 1. Способы точного вычисления интегралов ............. ................. 131
1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2. Приближенные методы.......................................................... 13Э
§ 3. Несобственные интегралы .................................................... 142
Глава VIII. Применения интеграла ................................................ 147
§ 1. Некоторые задачи геометрии и статики ........................... 147
§ 2. Некоторые задачи физики.................................................... 162
Глава IX. Ряды ................................................................................... 171
§ 1. Числовые ряды...................................................................... 171
§ 2. Функциональные ряды............................................................ 175
§ 3. Степенные ряды.................................................................... 179
§ 4. Некоторые применения рядов Тейлора................................. 181
Глава X. Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление .......................................................................................... 185
§ 1. Функции нескольких переменных......................................... 185
§ 2. Простейшие свойства функций.............................................. 187
§ 3. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных 191
§ 4. Дифференцирование функций................................................. 195
§ 5. Повторное дифференцирование . ...................................... 198
Глава XI. Применения дифференциального исчисления функций
нескольких переменных................................................................ 202
§ 1. Формула Тейлора. Экстремумы функций нескольких переменных 202
§ 2. Плоские линии....................................................................... 207
§ 3. Векторная функция скалярного аргумента. Линии в пространстве. Поверхности 209
§ 4. Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению .... 214
Глава XII. Многомерные интегралы и кратное интегрирование . . 217
§ 1. Двойные и тройные интегралы ............................................ 217
§ 2. Кратное интегрирование...................................................... 218
§ 3. Интегралы в полярных, цилиндрических и сферических координатах 221
§ 4. Применение двойных и тройных интегралов......................... 224
§ 5. Несобственные интегралы. Интегралы, зависящие от параметра 233
Г лава XIII. Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности .................................................................................................. 239
§ 1. Криволинейные интегралы по длине................................... 239
§ 2. Криволинейные интегралы по координатам......................... 242
§ 3. Интегралы по поверхности................................................... 247
Глава XIV. Дифференциальные уравнения..................................... 251
§ 1. Уравнения первого порядка...................................................... 251
§ 2. Уравнения первого порядка (продолжение).................................. 262
§ 3. Уравнения второго и высших порядков................................... 265
§ 4. Линейные уравнения.................................................................. 269
§ 5. Системы дифференциальных уравнений................................. 275
§ 6. Вычислительные задачи......................................................... 278
Глава XV. Тригонометрические ряды............................................. 280
§ 1. Тригонометрические многочлены........................................... 280
§ 2. Ряды Фурье........................................................................... 281
§ 3. Метод Крылова. Гармонический анализ................................... 285
Глава XVI. Элементы теории поля................................................... 286
О т в е т ы ................................................................................................ 292
Приложение. Таблицы некоторых элементарных функций . . . . 413