Савчук, В.Ф.
Методы численного анализа : электрон. курс лекций для студ. специальностей
1-31 03 03-01 «Прикладная математика» и 1-31 03 06-01 «Экономическая кибернетика»
физ.-мат. фак. / В.Ф. Савчук, О.В. Матысик ; Брест. гос. ун-т им. А.С. Пушкина, каф.
ПМ и ТП, каф. алгебры и геометрии. – Брест : электрон. издание БрГУ, 2013. – 403 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Глава 1 РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 12
§1. Итерационные методы. Исследование уравнения . . . . . . 12
§2. Метод простой итерации для решения нелинейных уравнений. Теорема о сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1 Геометрический смысл . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
§3. Ускорение сходимости метода итераций . . . . . . . . . . . 22
§4. Метод Ньютона (касательных) решения уравнений с одним неизвестным . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1 Геометрический смысл метода Ньютона (касательных) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
§5. Решение систем нелинейных уравнений. Метод простых
итераций. Метод Зейделя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
§6. Метод Ньютона для нелинейных систем уравнений . . . . . 34
§7. Сведение решения системы нелинейных уравнений к решению вариационной задачи. Метод покоординатного спуска 37
7.1 Метод покоординатного спуска . . . . . . . . . . . . 38
7.2 Метод градиентного спуска . . . . . . . . . . . . . . 39
Глава 2 ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ 40
§8. Интерполирование функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Кафедры
ПМиТП
АиГ
Начало
Содержание
J I
JJ II
Страница 4 из 403
Назад
На весь экран
Закрыть
§9. Интерполяционный многочлен Лагранжа . . . . . . . . . . 42
§10. Конечные разности. Разделённые разности . . . . . . . . . 45
10.1 Свойства конечных разностей . . . . . . . . . . . . . 46
§11. Интерполяционные многочлены Ньютона . . . . . . . . . . 48
§12. Интерполирование внутри таблицы. Интерполяционная формула Стирлинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
§13. Интерполирование с кратными узлами . . . . . . . . . . . . 55
§14. Многочлены Чебышева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
14.1 Приложение многочленов Чебышева . . . . . . . . . 59
§15. Численное дифференцирование. (Применение интерполирования к вычислению производных) . . . . . . . . . . . . 60
§16. Некоторые частные формулы вычисления производных . . 63
§17. Интерполяционные методы решения нелинейных уравнений 66
§18. Интерполяция и приближение сплайнами . . . . . . . . . . 68
§19. Построение кубического сплайна . . . . . . . . . . . . . . . 71
§20. Многомерная интерполяция . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
20.1 Двумерная интерполяция . . . . . . . . . . . . . . . 75
§21. Наилучшее приближение функции в линейном нормированном пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
§22. Наилучшие приближения функций в гильбертовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
22.1 Сведение к алгебраической задаче о минимуме квадратичного функционала . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Кафедры
ПМиТП
АиГ
Начало
Содержание
J I
JJ II
Страница 5 из 403
Назад
На весь экран
Закрыть
§23. Эмпирические формулы. Метод наименьших квадратов . . 86
23.1 Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . 87
23.2 Определение параметров эмпирических формул по
методу наименьших квадратов в случае квадратичной зависимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
§24. Наилучшие равномерные приближения . . . . . . . . . . . 91
24.1 Примеры наилучшего равномерного приближения . 92
Глава 3 ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 94
§25. Приближенное вычисление определенных интегралов. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса . . . . . . . . . . . . . 94
25.1 Формулы Ньютона-Котеса . . . . . . . . . . . . . . . 95
§26. Формула трапеций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
§27. Формула Симпсона (парабол) . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
§28. Формулы прямоугольников . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
§29. Формула «трех восьмых» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
§30. Выбор шага интегрирования. Правило Рунге . . . . . . . . 115
§31. Квадратурные формулы интерполяционного типа . . . . . 117
31.1 Оценка погрешности квадратурной формулы интерполяционного типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
§32. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности (НАСТ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
§33. Основная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Кафедры
ПМиТП
АиГ
Начало
Содержание
J I
JJ II
Страница 6 из 403
Назад
На весь экран
Закрыть
§34. Существование и единственность квадратурных формул
наивысшей алгебраической степени точности . . . . . . . . 129
§35. О положительности квадратурных коэффициентов . . . . . 132
§36. Погрешность квадратуры наивысшей степени точности . . 134
§37. Связь с ортогональной системой многочленов . . . . . . . . 137
§38. Квадратурные формулы, отвечающие простейшим весовым функциям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
38.1 Постоянная весовая функция . . . . . . . . . . . . . 140
38.2 Формула численного интегрирования Эрмита . . . . 142
38.3 Интегралы вида R
b
a
(b − x)
α
(x − a)
β
f(x) dx. . . . . . 143
38.4 Интегралы вида R
∞
0
x
α
e
−x
f(x)dx . . . . . . . . . . . . 146
38.5 Интегралы вида R
∞
−∞
e
−x
2
f(x)dx . . . . . . . . . . . . 147
§39. Формулы численного интегрирования, содержащие заранее предписанные узлы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
39.1 Содержание задачи и общие теоремы . . . . . . . . . 150
§40. Квадратурные формулы с равными коэффицинтами . . . . 155
40.1 Построение формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
40.2 Случай постоянной весовой функции . . . . . . . . . 158
§41. Интерполяционные кубатурные формулы . . . . . . . . . . 161
§42. Кубатурная формула трапеций . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Кафедры
ПМиТП
АиГ
Начало
Содержание
J I
JJ II
Страница 7 из 403
Назад
На весь экран
Закрыть
§43. Кубатурная формула Симпсона . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Глава 4 МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 176
§44. Аналитические методы решения задачи Коши . . . . . . . 176
§45. Понятие одношаговых и многошаговых методов . . . . . . 181
§46. Построение одношаговых методов способом разложения решение в ряд тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
§47. Методы типа Рунге-Кутта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
§48. Случай уравнений высших порядков . . . . . . . . . . . . . 200
§49. Оценка погрешности (сходимость) одношаговых методов . 202
§50. Правило Рунге-Кутта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
§51. Многошаговые методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
§52. Экстраполяционные методы Адамса . . . . . . . . . . . . . 213
§53. Интерполяционные методы Адамса . . . . . . . . . . . . . . 219
§54. Понятие жесткой системы дифференциальных уравнений . 225
§55. Нелинейные системы дифференциальных уравнений . . . . 229
§56. Условно устойчивые и абсолютно устойчивые разностные
методы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
§57. Специальные определения устойчивости . . . . . . . . . . . 236
§58. Чисто неявные разностные методы . . . . . . . . . . . . . . 240
Кафедры
ПМиТП
АиГ
Начало
Содержание
J I
JJ II
Страница 8 из 403
Назад
На весь экран
Закрыть
Глава 5 РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОДУ 246
§59. Метод стрельбы (пристрелки) . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
§60. Метод редукции к задачам Коши . . . . . . . . . . . . . . . 249
§61. Метод прогонки для граничных задач . . . . . . . . . . . . 251
§62. Метод моментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
§63. Метод Галеркина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
§64. Методы моментов и Галеркина для операторов, заданных
в гильбертовом пространстве H . . . . . . . . . . . . . . . . 265
§65. Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
§66. Метод Ритца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
§67. Метод сеток для решения линейных граничных задач . . . 282
67.1 Постановка задачи. Идея метода сеток . . . . . . . . 282
67.2 Методы замены обыкновенных дифференциальных
уравнений и граничных условий системой алгебраических уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
§68. Оценка погрешности и сходимость метода сеток . . . . . . 292
§69. Сходимость и аппроксимация разностных схем . . . . . . . 297
§70. Однородные разностные схемы для дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
§71. Интегро-интерполяционный метод . . . . . . . . . . . . . . 307
§72. Метод аппроксимации квадратичного функционала . . . . 310
§73. Метод аппроксимации интегрального тождества . . . . . . 312
Кафедры
ПМиТП
АиГ
Начало
Содержание
J I
JJ II
Страница 9 из 403
Назад
На весь экран
Закрыть
§74. Метод Ритца и Бубнова-Галеркина (вариационно-разностные
методы) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
§75. Монотонные разностные схемы . . . . . . . . . . . . . . . . 318
Глава 6 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 322
§76. Некоторые предварительные определения . . . . . . . . . 322
§77. Метод механических квадратур решения уравнения Фредгольма II рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
77.1 Сходимость метода квадратур . . . . . . . . . . . . . 335
§78. Метод последовательных приближений решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода . . . . . . . . . . 338
§79. Интерполяционный квадратурный метод . . . . . . . . . . 342
§80. Метод замены ядра уравнения на вырожденное ядро для
решения уравнений Фредгольма второго рода . . . . . . . . 348
80.1 Применение степенного ряда . . . . . . . . . . . . . 352
80.2 Использование интерполяционных методов . . . . . 353
§81. Оценка близости между решениями уравнений в зависимости от близости самих уравнений . . . . . . . . . . . . . 354
§82. Метод моментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
82.1 Связь метода Галеркина с задачей замены ядра на
вырожденное . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
§83. Метод коллокации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
Кафедры
ПМиТП
АиГ
Начало
Содержание
J I
JJ II
Страница 10 из 403
Назад
На весь экран
Закрыть
§84. Метод квадратур решения интегрального уравнения Вольтерра второго рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
§85. Метод последовательных приближений решения интегрального уравнения Вольтерра второго рода . . . . . . . . . . . 376
§86. Решение нелинейных уравнений вида Вольтерра . . . . . . 379
§87. Корректно поставленные и некорректно поставленные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
§88. Метод регуляризации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402