ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО, ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
ИТАЭ, ТФ – (9÷ 15), 3 семестр, 2019/20 уч. год

1. Производная функции комплексного переменного. Понятие аналитической функции. Условия Коши-Римана (Эйлера-Даламбера) (доказательство необходимости).
2. Определение и свойства интеграла от функции комплексного переменного. Способы вычисления.
3. Вычисление контурных интегралов в комплексной плоскости. Теорема Коши (доказательство). Формула Ньютона-Лейбница.
4. Интегральная формула Коши (доказательство). Интегральная формула Коши для n-ой производной.
5. Вычеты. Способы вычисления вычетов.
6. Понятие изолированной особой точки. Классификация особых точек. Ряд Лорана в окрестности конечной особой точки. Ряд Лорана в окрестности бесконечной особой точки. Основная теорема теории вычетов и следствие.
7. Вычисление несобственных интегралов с использованием вычетов. Лемма Жордана (доказательство).
8. Преобразование Лапласа. Требования к функции оригиналу. Необходимое условие существования изображения. Свойства линейности и подобия.
9. Свойства смещения и запаздывания преобразования Лапласа (одно свойство с доказательством). Запись дискретных функций с использованием обобщенной функции Хевисайда.
10. Свойства дифференцирования оригинала и изображения преобразования Лапласа (одно с доказательством). Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений.
11. Свертка оригиналов. Интеграл Дюамеля. Метод Дюамеля решения дифференциальных уравнений.
12. Ортогональные системы функций. Ряды Фурье. Тригонометрический ряд Фурье. Сумма ряда Фурье.
13. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Условие разложимости функции в ряд Фурье. Ряды Фуре на произвольном отрезке.
14. Тригонометрические ряды Фурье в комплексной форме. Интегральная формула Фурье в комплексной форме. Спектральная функция. Интегральная формула Фурье в действительной форме.
15. Преобразование Фурье и его основные свойства. Косинус и синус-преобразование Фурье.

2. Экзаменационная программа по теории вероятностей и элементам математической статистики
1. Вероятностное пространство. Классическая вероятность. Геометрическая вероятность.
2. Урновые схемы: выборка с возвращением и без возвращения. Гипергеометрическое распределение.
3. Свойства вероятностей. Условные вероятности. Независимость событий.
4. Вероятность суммы и произведения событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
5. Дискретные случайные величины. Распределение и функция распределения. Свойства. Биномиальное, геометрическое, распределение Пуассона.
6. Независимые испытания и схема Бернулли, Формула Пуассона.
7. Абсолютно непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность распределения вероятности. Свойства. Равномерное, гамма и нормальное распределения.
8. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции. Свойства.
9. Векторные случайные величины. Совместная функция распределения и совместная плотность распределения Функции случайных величин. Свертка случайных величин.
10. Закон больших чисел в форме Чебышева и усиленный закон больших чисел Колмогорова.
11. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных величин. Примеры использования.
12. Статистическая выборка. Задача оценки параметрических функций. Несмещенность и состоятельность оценок. Выборочная функция распределения.
13. Эффективные оценки неизвестных параметров для регулярных распределений. Неравенство Рао-Крамера.
14. Метод максимального правдоподобия и метод моментов получения точечных оценок. Их свойства.
15. Доверительные интервалы для неизвестных параметров и параметрических функций.
16. Задачи проверки статистических гипотез. Критерии согласия и однородности.
17. Параметрические гипотезы. Критерий Неймана-Пирсона.
18. Модель линейной регрессии. Оценивание параметров модели линейной регрессии методом наименьших квадратов.