Один из самых полезных конспектов лекций по которому читают на 1м курсе, лекции содержат примеры задач из экзамена с решением и ответами

Письменный, Д. Т.
П34 Конспект лекций по высшей математике: полный курс /
Д. Т. Письменный. - 4-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2006.-
608 с.: ил. - (Высшее образование).
ISBN 5·8112·1778-1
Настоящий курс лекций предназначен для всех категорий студентов
высших учебных заведений, изучающих в том или ином объеме высшую
математику.
Книга содержит необходимый материал по всем разделам курса высшей математики (линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия, основы тематического анализа), которые обычно изучаются студентами на п рвом и втором курсах вуза, а также дополнительные главы, необходимые при изучении специальных курсов (двойные, тройные, криволинейные и поверхностные интегралы, дифференциальные уравнения, элементы теории поля и теории функций комплексного переменного, основы операционного исчисления).
Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается
рассмотрением большого количества примеров и задач, ведется на доступном, по возможности строгом языке.
Пособие поможет студентам освоить курс высшей математики, подготовиться к сдаче зачетов и экзаменов по математическим дисциплинам.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. Матрицы...................................................... 16
1.1. Основные понятия....................................... 16
1.2. Действия над матрицами................................ 17
§ 2. Определители................................................. 20
2.1. Основные понятия................... .... ............. 20
2.2. Свойства определителей........................... ...... 22
§ 3. Невырожденные матрицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1. Основные понятия... .................................... 24
3.2. Обратная матрица. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3. Ранг матрицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
§ 4. Системы линейных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1. Основные понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2. Решение систем линейных уравнений.
Теорема Кронекера-Капелли............................ 30
4.3. Решение невырожденных линейных систем.
Формулы Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. . 34
4.5. Системы линейных однородных уравнений. . . . . . . . . . . . . . 37
Глава 11. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 5. Векторы....................................................... 39
5.1. Основные понятия.......................... .... ....... 39
5.2. Линейные операции над векторами.......... ........... 40
5.3. Проекция вектора на ось. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.4. Разложение вектора по ортам координатных осей.
Модуль вектора. Направляющие косинусы. . . . . . . . . . . . . . 44
5.5. Действия над векторами, заданными проекциями ...... 45
§ 6. Скалярное произведение векторов и его свойства............ 47
6.1. Определение скалярного произведения .. ................ 47
6.2. Свойства скалярного произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.3. Выражение скалярного произведения
через координаты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.4. Некоторые приложения скалярного произведения . . . . . . 50
§ 7. Векторное произведение векторов и его свойства. . . . . . . . . . . . 51
7.1. Определение векторного произведения ........... ....... 51
3
7.2. Свойства векторного произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.3. Выражение векторного произведения
через координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.4. Некоторые приложения векторного произведения . . . . . . . 54
§ 8. Смешанное произведение кторов.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.1. Определение смешанного произведения,
его геометрический смысл. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.2. Свойства смешанного произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.3. Выражение смешанного произведения
через координаты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.4. Некоторые приложения смешанного произведения . . . . . . 57
Глава 111. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
НА ПЛОСКОСТИ
§ 9. Система координат на плоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9.1. Основные понятия .. .. .................. ............... 58
9.2. Основные приложения метода координат
на плоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
9.3. Преобразование с истемы координат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
§ 10. Линии на плоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
10.1. Основные понятия .. ........ ... .. .. .. .. .. .. ... 64
10.2. Уравнения прямой на плоскости. .... .. ... ............ 68
10.3. Прямая линия на плоскости. Основные задачи. . . . . . . . . 73
§ 11. Линии второго порядка на плоскости..... ..... .............. 74
11.1. Основные понятия..... ................ ... .............. 74
11 .2. Окружность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
11.3. Эллипс... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . 76
11.4. Гипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11.5. Парабола...... .. .... ....... .. .. ... .. ...... 84
11.6. Общее уравнение линий второго порядка .............. 86
Глава IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 12. Уравнения поверхно ти и линии в простран тв ............. 90
12.1. Основные понятия .... ... ..... .. .. .. ............ 90
12.2. Уравнения плоско ти в пространств .. .... .. ... .. .. . 92
12.3. Плоскость. Основные задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
12.4. Уравнения прямой в пространстве ...... .. .... ... .. .. 98
12.5. Прямая линия в про транстве. Основные задачи. . . . . . . 101
12.6. Прямая и плоскость в пространстве.
Основные задачи. ... ............... .. .. .............. 103
12.7. Цилиндрические поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 104
4
12.8. Поверхности вращения. Конические поверхности. . . . . . . 106
12.9. Канонические уравнения поверхностей
второго порядка......................... ....... .. ... .. 109
Глава У. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 13. Множества. Действительные числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
13.1.0сновные понятия......... ........... .. ............ . 116
13.2. Числовые множества.
Множество действительных чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
13.3. Числовые промежутки . Окрестность точки. . . . . . . . . . . . . 119
§ 14. Функция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
14.1. Понятие фуНКции..... .. ....... .. ....... .. ... .. .. . 120
14.2. Числовые функции . График функции .
Способы задания функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
14.3. Основные характеристики функции......... .. ... ... . 122
14.4. Обратная функция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 123
14.5. Сложная функция. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 124
14.6. Основные элементарные функции и их графики.. . . . . . . 124
§ 15. Последовательности................................... ...... . 127
15.1. Числовая последовательность.............. ...... .. 127
15.2. Предел числовой последовательности........... .. .. . 128
15.3. Предельный переход внеравенствах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
15.4. Предел монотонной ограниченной последовательности .
Число е. Натуральные логарифмы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
§ 16. Предел функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
16.1. Предел функции в точке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
16.2. Односторонние пределы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
16.3. Предел функции при х ~ 00 ........................... " 135
16.4. Бесконечно большая функция (б.б.ф.). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
§ 17. Бесконечно малые функции (б.м.ф.) ....................... . . 136
17.1. Определения и основные теоремы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
17.2. Связь между функцией, ее пределом
и бесконечно малой функцией..................... ...... 140
17.3. Основные теоремы о пределах.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
17.4. Признаки существования пределов. . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . 144
17.5. Первый замечательный предел. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
17.6. Второй замечательный предел................... .. ...... 146
§ 18. Эквивалентные бесконечно малые функции...... ...... .... 148
18.1. Сравнение бесконечно малых функций.... .. ........ .. 148
18.2. Эквивалентные бесконечно малые
и основные теоремы о них. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5
18.3. Применение эквивалентных бесконечно
малых функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 151
§ 19. Непрерывность функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . ... 153
19.1. Непрерывность функции в точке ... ........ .. .. ........ 153
19.2. Непрерывность функции в интервале
и на отрезке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 155
19.3. Точки разрыва функции и их классификация.......... 155
19.4. Основные теоремы о непрерывных функциях.
Непрерывность элементарных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . 158
19.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке. . . . . . . . . . .. 159
§ 20. Производная функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
20.1. Задачи, приводящие к понятию производной . . . . . . . . . . .. 161
20.2. Определение производной; ее механический
и геометрический смысл. Уравнение касательной
и нормали к кривой. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 164
20.3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
20.4. Производная суммы, разности, произведения
и частного функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 167
20.5. Производная сложной и обратной функций. . . . . . . . . . . .. 169
20.6. Производные основных элементарных функций. . . . . . . .. 171
20.7. Гиперболические функции и их производные . . . . . . . . . . . 175
20.8. Таблица производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
§ 21. Дифференцирование неявных и параметрически заданных
функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
21.1 . Неявно заданная функция . ..... ...... .... ...... , . . . . . . .. 179
21 .2. Функция, заданная параметрически. . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. 180
§ 22. Логарифмическое дифференцирование. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 181
§ 23. Производные высших порядков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 182
23.1. П роизводные высших порядков
явно заданной функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 182
23.2. Механический смысл производной второго порядка. . . . 183
23.3. Производные высших порядков
неявно заданной функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
23.4. Производные высших порядков от функций, заданных
параметрически . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 184
§ 24. Дифференциал функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
24.1 . Понятие дифференциала функции. .. .... ............ 185
24.2. Геометрический смысл дифференциала функции. . . . . . . 186
24.3. Основные теоремы о дифференциалах. . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
24.4. Таблица дифференциалов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 188
6
24.5. Применение дифференциала
к приближенным вычислениям. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 189
24.6.Дифференциалы высших порядков...................... 190
§ 25. Исследование функций при помощи производных. . . . . . . . . . .. 192
25.1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях... 192
25.2. Правила Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
25.3. Возрастание и убывание функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 200
25.4. Максимум и минимум функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
25.5. Наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 205
25.6. Выпуклость графика функции. Точки iIерегиба. . . . . . . .. 207
25.7. Асимптоты графика функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
25.8. Общая схема исследования функции
и построения графика................................... 211
§ 26. Формула Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 213
26.1. Формула Тейлора для многочлена...................... 214
26.2. Формула Тейлора для произвольной функции. . . . . . . . . . 215
Глава VI. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 27. Понятие и представления комплексных чисел............... 218
27.1. Основные понятия....................................... 218
27.2. Геометрическое изображение комплексных чисел.. . . . .. 218
27.3.Формы записи комплексных чисел .......... '............ 219
§ 28. Действия над комплексными числами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
28.1. Сложение комплексных чисел........................... 221
28.2. Вычитание комплексных чисел ................ " . . . . . . . .. 221
28.3. Умножение комплексных чисел......................... 222
28.4. Деление комплексных чисел ...... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
28.5. Извлечение корней из комплексных чисел. . . . . . . . . . . . .. 224
Глава УН. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 29. Неопределенный интеграл. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 226
29.1. Понятие неопределенного интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 226
29.2. Свойства неопределенного интеграла.................... 227
29.3. Таблица основных неопределенных интегралов. . . . . . . .. 230
§ 30. Основные методы интегрирования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 232
30.1. Метод непосредственного интегрирования. . . . . . . . . . . . . .. 232
30.2. Метод интегрирования подстановкой
(заменой переменной) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . ... 234
30.3. Метод интегрирования по частям. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 236
§ 31. Интегрирование рациональных функций..................... 237
31.1. Понятия о рациональных функциях ..................... 237
7
31.2.Интегрирование простейших рациональных дробей..... 244
31.3: Интегрирование рациональных дробей. . . . . . . . . . . . . . . . .. 246
§ 32. Интегрирование тригонометрических функций. . . . . . . . . . . . . . . 248
32.1. Универсальная тригонометрическая подстановка. . . . . . . 248
32.2. Интегралы типа J sinm х . cosn Х dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
32.3. Использование тригонометрических преобразованиЙ. . .. 250
§ 33. Интегрирование иррациональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
33.1. Квадратичные иррациональности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 251
33.2. Дробно-линейная подстановка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 253
33.3. Тригонометриче кая подстановка.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
33.4. Интегралы типа J R(x; .../ах 2 + Ьх + с) dx.... . ... . .... ... 255
33.5. Интеrрирование дифференциального бинома. . . . . . . . . . . 255
§ 34. рущиеся» и «неб рущиеся» интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Глава VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 35. Определенный инт грал как предел интегральной суммы. .. 259
§ 36. Геометрический и физический смысл определенного
интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 261
§ 37. Формула Ньютона-Лейбница.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 263
§ 38. Основные свойства определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
§ 39. Вычисления определенного интеграла .. ... .. .. ........ 269
39.1. Формула Ньютона-Лейбница. .. .... ................ 269
39.2. Интегрирование подстановкой (заменой переменной) . . . 269
39.3. Интегрирование по частям. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 271
39.4. Интегрирование четных и нечетных функций
в симметричных пределах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
§ 40. собственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
40.1. Интеграл с бесконечным промежутком инт грирования
(несобственный интеграл 1 рода) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 273
40.2. Интеграл от разрывной функции
(несобственный интеграл II рода) .... .... ..... .......... 276
§ 41. Геометрические и физические приложения определенного
интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 278
41.1. Схемы применения определенного интеграла. . . . . ... . .. 278
41.2. Вычисление площад й плоских фигур. . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
41.3. Вычисление длины дуги плоской кривой .. .... ..... .. . 283
41.4. Вычисление объема тела. . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
41.5. Вычисление площади поверхности вращения. .. . . . . . . . .. 289
41 .6. ханические приложения определенного интеграла... 291
§ 42. Приближенное вычисление определенного интеграла.. . . . . .. 298
42.1. Формула прямоуго ьников ................ . . .. . . ........ 298
8
42.2. Формула трапеций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 299
42.3. Формула парабол (Симпсона) . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 300
Глава IX. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 43. Функции двух переменных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 304
43.1. Основные понятия....................................... 304
43.2. Предел функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
43.3. Непрерывность функции двух переменных. . . . . . . . . . . . .. 306
43.4. Свойства функций, непрерывных
в ограниченной замкнутой области. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 307
§ 44. Производные и дифференциалы функции
нескольких переменных ...... '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
44.1. Частные производные первого порядка
и их геометрическое истолкование. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 308
44.2. Частные производные высших порядков................ 310
44.3.Дифференцируемость и полный дифференциал
функции................................................. 311
44.4. Применение полного дифференциала к приближенным
вычислениям. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 312
44.5.Дифференциалы высших порядков...................... 313
44.6. Производная сложной функции. Полная производная . . 314
44.7. Инвариантность формы полного дифференциала....... 316
44.8. Дифференцирование неявной функции. . . . . . . . . . . . . . . . .. 317
§ 45. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.. . . . . . . . . .. 318
§ 46. Экстремум функции двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
46.1.0сновные поняТия....................................... 320
46.2. Необходимые и достаточные условия экстремума....... 321
46.3. Наибольшее и наименьшее значения функции
в замкнутой области. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 323
Глава Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ "УРАВНЕНИЯ
§ 47. Общие сведения о дифференциальных уравнениях.......... 325
47.1.0сновные понятия....................................... 325
47.2. Задачи, приводящие к дифференциальным
уравнениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
§ 48. Дифференциальные уравнения первого порядка. . . . . . . . . . . .. 327
48.1. Основные понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
48.2. Уравнения с' разделяющимися переменными. . . . . . . . . . .. 330
48.3. Однородные дифференциальные уравнения. . . . . . . . . . . .. 332
48.4. Линейные уравнения. Уравнение Я. Бернулли .. . . . . .. .. 334
48.5. Уравнение в полных дифференциалах.
Интегрирующий множитель. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
9
48.6. Уравнения Лагранжа и Клеро........................... 342
§ 49. Дифференциальные уравнения высших порядков. . . . . . . . . . .. 344
49.1. Основные понятия....................................... 344
49.2. Уравнения, допускающие понижение порядка. . . .. . . . . . 346
49.3. Линейные дифференциальные уравнения высших
порядков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 349
49.4. Линейные однородные ДУ второго порядка. . . . . . . . . . . .. 350
49.5. Линейные однородные ДУ n-го порядка. . . . . . . . . . . . . . . . 353
§ 50. Интегрирование ДУ второго порядка с постоянными
коэффициентами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 354
50.1. Интегрирование ЛОДУ второго порядка
с постоянными коэффициентами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
50.2. Интегрирование ЛОДУ n-го порядка
с постоянными коэффициентами........................ 357
§ 51. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
(ЛиДУ) ....................................................... 358
51.1. Структура общего решения ЛИДУ второго порядка .... 358
51.2. Метод вариации произвольных постоянных............. 360
51.3. Интегрирование ЛИДУ второго порядка
с постоянными коэффициентами и правой частью
специального вида. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 362
51.4. Интегрирование ЛИДУ n-го порядка (n > 2)
с постоянными коэффициентами и правой частью
специального вида. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 365
§ 52. Системы дифференциальных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
52.1. Основные понятия .................. '. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
52.2. Интегрирование нормальных систем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
52.3. Системы линейных ДУ с постоянными
коэффициентами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 372
Глава XI. ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 53. Двойной интеграл ................. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 378
53.1. Основные понятия и определения....................... 378
53.2. Геометрический и физический смысл двойного
интеграла................................................ 379
53.3. Основные свойства двойного интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . 381
53.4. Вычисление двойного интеграла
в декартовых координатах ............ : . . . . . . . . . . . . . . . . .. 382
53.5. Вычисление двойного интеграла
в полярных координатах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 386
53.6. Прилож~ния двойного интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 388
§ 54. Тройной интеграл. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 391
10
54.1. Основные понятия..... ....................... ........... 391
54.2. Вычисление тройного интеграла
в декартовых координатах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 392
54.3,. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление
тройного интеграла в цилиндрических и сферических
координатах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 395
54.4. Некоторые приложения тройного интеграла. . . . . . . . . . . . 398
Глава ХН. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
§ 55. Криволинейный интеграл 1 рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
55.1. Основные понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
55.2. Вычисление криволинейного интеграла 1 рода. . . . . . . . .. 404
55.3. Некоторые приложения криволинейного' интеграла
1 рода..... .. ....... .. ... ........ ...... ............. 405
§ 56. Криволинейный интеграл Прода. ..... ......... .. ... .. 407
56.1.0сновные понятия....... ...... ... .. .. ... ... .. ... .. .. 407
56.2. Вычисление криволинейного интеграла 11 рода. . . . . . . .. 410
56.3. Формула Остроградского-Грина ... ..... ..... ... ...... 412
56.4. Условия независимости криволинейного интеграла
11 рода от пути интегрирования......................... 414
56.5. Некоторые приложения криволинейного интеграла
11 рода........... ........... ........ .................... 418
§ 57. Поверхностный интеграл 1 рода.............................. 420
57.1. Основные пщ:!ятия .... .. .. .............................. 420
57.2. Вычисление поверхностного интеграла 1 рода. . . . . . . . . .. 422
57.3. Некоторые приложения поверхностного интеграла
1 рода ........ . .' .. ..... . .. ................................ 425
§ 58. Поверхностный интеграл 11 рода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
58.1. Основные понятия ......... .............................. 427
58.2: Вычисление поверхностного интеграла 11 рода. . . . . . . . .. 429
58.3. Формула Остроградского-Гаусса .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. 431
58.4. Формула Сток са . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
58.5. Некоторые приложения поверхностного интеграла
11 рода. ..... .. .. ..... .......... ....................... 437
Глава XHI. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
§ 59. Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
59.1. Основные понятия ... ... .... .. ...... ................... 438
59.2. Ряд геометрической ПРОr:'рессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
59.3. Необходимый признак сходимости числового ряда .
Гармонический ряд. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 442
11
§ 60. Достаточные признаки сходимости
знакопостоянных рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 444
60.1. Признаки сравнения рядов.............................. 444
60.2. Признак Даламбера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
60.3. Радикальный признак Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 448
60.4. Интегральный признак Коши.
Обобщенный гармонический ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
§ 61. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды............... 451
61.1.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница .......... 451
61.2. Общий достаточный признак сходимости
знакопеременных рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 453
61.3. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов.
Свойства абсолютно сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
Глава XIV. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
§ 62. Функциональные ряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
62.1. Основные понятия....................................... 457
§ 63. Сходимость степенных рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 458
63.1. Теорема Н. Абеля........................................ 458
63.2. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. . . . . . .. 459
63.3. Свойства степенных рядов ...... , . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . .. 462
§ 64. Разложение функций в степенные ряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 463
64.1. Ряды Тейлора и Маклорена.. . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . .. 463
64.2. Разложение некоторых элементарных функций
в ряд Тейлора (Маклорена) ............................. 465
§ 65. Некоторые приложения степенных рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
65.1. Приближенное вычисление значений функции.......... 471
65.2. Приближенное вычисление определенных интегралов.. 473
65.3. Приближенное решение дифференциальных
уравнений ................................................. 475
Глава XV. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 66. Ряды Фурье. . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
66.1. Периодические функции. Периодические процессы . . . . . 478
66.2. Тригонометрический ряд Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 480
§ 67. Разложение в ряд Фурье 27r-периодических функций. . . . . . .. 483
67.1. Теорема Дирихле........................................ 483
67.2. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.. 486
67.3. Разложение в ряд Фурье функций ПРОЦЗВОЛЬНОГО
периода.................................................. 487
67.4. Представление непериодической функции
рядом Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 489
12
67.5. Комплексная форма ряда Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 491
§ 68. Интеграл Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 493
Глава XVI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
§ 69. Основные понятия теории поля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 499
§ 70. Скалярное поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
70.1. Поверхности и линии уровня............................ 501
70.2. Производная по направлению. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
70.3. Градиент скалярного поля и его свойства. . . . . . . . . . . . . .. 504
§ 71. Векторное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 506
71.1. Векторные линии поля.................................. 506
71.2. Поток поля. . . .. . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . .. .. 507
71.3.Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса... 510
71.4. Циркуляция поля........................................ 513
71.5.Ротор поля. Формула Стокса.. . . . .. . .. . . . . . . . . .. . . . . . . .. 515
§ 72. Оператор Гамильтона......................................... 518
72.1. Векторные дифференциальные операции
первого порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
72.2. Векторные дифференциальные операции
второго порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
§ 73. Некоторые свойства основных классов векторных полей. . . . 520
73.1. Соленоидальное поле.................................... 520
73.2. Потенциальное поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 521
73.3. Гармоническое поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
Глава ХУII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 74. Функции комплексного переменного.......................... 525
74.1. Основные понятия....................................... 525
74.2. Предел и непрерывность функции комплексного
переменного. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
74.3. Основные элементарные функции комплексного
переменного. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 527
74.4. Дифференцирование функции комплексного
переменного. Условия Эйлера-Даламбера............... 532
74.5. Аналитическая функция. Дифференциал.. . .. . . . . . . . . .. 535
74.6. Геометрический смысл модуля и аргумента
производной. Понятие о конформном отображении. . . .. 538
§ 75. Интегрирование функции комплексного переменного ....... '. 540
75.1.0пределение, свойства и правила вычисления
интеграла. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. 540
13
75.2. Теорема Коши . Первообразная инеопределенный
интеграл. Формула Ньютона-Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . .. 544
75.3. Интеграл Коши. Интегральная формула Коши. ....... . 547
§ 76. Ряды в комплексной плоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 551
76.1. Числовые ряды .. .... ......... ..... ... .... .... . 551
76.2. Степенные ряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
76.3. Ряд Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
76.4. Нули аналитической функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 558
76.5. Ряд Лорана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
76.6. Классификация особых точек. Связь между нулем
и полюсом функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
§ 77. Вычет функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
77.1. Понятие вычета и основная теорема о вычетах... .. .. . 567
77.2. Вычисление вычетов. Применение вычетов
в вычислении интегралов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 568
Глава XVIII. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 78. Преобразование Лапласа.......... .. .... .. ................... 572
78.1. Оригиналы ~ их изображения. .. .... .. ....... ........ 572
78.2. Свойства преобразования Лапласа.... ... ... .. ..... .. 576
78.3. Таблица оригиналов и изображений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 588
§ 79. Обратное преобразование Лапласа .... ........ .. .. ......... 590
79.1. Теоремы разложения................... ......... .. ... .. 590
79.2.Формула Римана-Меллина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593
§ 80. Операционный метод решения линейных
дифференциальных уравнений и их систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594
Приложения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599